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CFD (差价合约) 是什么?

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方程(1)和(2)为宏观方程,调用了宏观假定,其起源为玻尔兹曼方程(又名动理学方程)。在更底层的介尺度研究领域,方程(1)和(2)也即从介尺度模型演化的宏观二阶矩模型。在无压力无粘性的条件下具备弱双曲特征。由于失去了高阶矩的统计学特征,因此方程(1)和(2)在某些情况下是不适用的;在考虑适当的简化情况下,方程(1)和(2)可被称之为Navier-Stokes (N-S) 方程。除了上述数学特征,求解N-S方程可分为不同的方法如有限体积法、有限差分法以及谱方法等。有限体积法得益于其天然守恒的数学特征,被大量的植入于CFD软件中用于流体动力学计算模拟。

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首先对方程(2)中的时间项进行对速度 \(\bfU\) 关于时间 CFD (差价合约) 是什么? \(t\) 的欧拉全隐离散有 :

(6) \[ \int \int \nabla p \mathrmV\mathrmt=\int\int p \mathrm\bfS\mathrmt=\Delta t\sum \left(p_f^t\bfS_f\right), \]

其中上标 \(^t\) 表示为当前的时间步(已知),上标 CFD (差价合约) 是什么? CFD (差价合约) 是什么? \(^*\) 表示预测步(待求),下标 \(_f\) 表示网格单元面上的值, \(V_\rP\) 表示网格单元体积, \(\bfS_f\) 表示网格单元的各个面的面矢量, \(\Delta t\) 表示时间步长, \(F_f^t\) 为通量, \(\nu\) 为动力粘度。方程(5)中 \((\nabla\mathbf^*)_f\cdot\bfS_f \) 需要进一步处理,其中 \(\nabla\mathbf^*\) 为定义在体心的量,即网格体心的速度梯度。 \((\nabla\mathbf^*)_f\) 为定义在面心的量,即网格面心的速度梯度。

需要注意的是,方程(2)中的左边第二项(对流项)是非线性的。在求解的过程中,要么选择非线性求解器,要么将对流项线性化。由于非线性求解器非常复杂,因此在OpenFOAM均采用线性化处理。具体的,在对方程(7)中的左边第二项对流项离散中,其中的通量 \(F_f^t\) 采用当前已知时间步的速度 \(\mathbf^t\) 来计算,同时保留 \(\mathbf^*_\mathrm\) 为未知量。这种将高阶非线性项降为一阶线性项的过程即为线性化操作。线性化的一个问题即为通量速度的信息有所滞后。

方程(7)中 \(\mathbf_f^*\) 被定义为面上的预测速度。面速度需要从体心速度进行插值来获得,在此步可以引入各种插值格式。假设在均一网格上使用中心线性格式:

同时,为使用紧致基架点防止数值震荡, \((\nabla\mathbf^*)_f\cdot\bfS_f\) 通常表示为面法向梯度与面矢量的模的乘积:

(10) \[ (\nabla\mathbf^*)_f \cdot\mathbf_f= \left((\nabla\mathbf^*)_f\cdot\frac<\mathbf_f><|\mathbf_f|> \right ) \cdot|\mathbf_f| \]

其中 \(\mathbf\) 表示网格单元体心之间矢量差(距离矢量),下标 \(_\mathrm\) 表示相邻网格单元的速度,下标 \(_\mathrm\) 表示当前网格单元的速度。速度的面法向梯度在三维情况下为一个矢量(变量的面法向梯度与变量的阶数相同)。在这里需要注意的是,方程(11)只对矩形网格精准,网格非正交性增加,需要特定的数值处理提高其计算精准性。

紧致基架点与拓展基架点的英文被称之为compact stencil与extended stencil,有关基架点的详细描述可参考无痛苦NS方程笔记中有关 laplacian(ϕ) = div(grad(ϕ))? 的讨论。

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